УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ


Решение уравнений в радикалах

Можно ли выразить корни полинома f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n с комплексными коэффициентами a_{0},a_1,\dots,a_n в виде «хороших» функций от этих коэффициентов? Вспомним, что для корней квадратного уравнения существует общая формула вычисления корней:

x^2+ax+b=0 \ \Rightarrow \ \lambda_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \ .

Эта формула включает в себя элементарные алгебраические операции +,- ,\times, \div и операцию извлечения квадратного корня. По аналогии можно сформулировать и общую задачу.

Задача. Найти выражения корней полинома степени n > 2 в виде функций его коэффициентов; при этом функции должны представлять конечную комбинацию элементарных алгебраических операций и операций извлечения корней произвольных (целых) степеней.

Поставленная задача называется задачей о разрешимости уравнения в радикалах1).

Оказывается, что любое уравнение третьей или четвертой степени разрешимо в радикалах. Перед тем, как изложить способы их решения, сделаем два упрощения. Первое из них заключается в том, что уравнение f_{}(x)=0 делится на старший коэффициент полинома f_{}(x).

Полином называется нормализованным, если его старший коэффициент равен 1_{}. Операция деления полинома на его старший коэффициент называется нормализацией полинома.

Очевидно, что нормализованный полином имеет те же корни (и в тех же кратностях ), что и исходный. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже нормализован:

f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n .

Второе упрощение заключается в замене переменной (подстановке): x=y +\alpha. Ее результатом будет новый полином той же степени, что и исходный, относительно переменной y: F(y)\equiv f(y+\alpha). Корни нового полинома связаны (cм. преобразование 2 ЗДЕСЬ ) с корнями старого по формуле \lambda_j = \Lambda_j+\alpha; так что, найдя корни одного полинома, легко установим и корни другого. Подберем теперь параметр \alpha так, чтобы обратить в нуль коэффициент при y^{n-1} в полиноме F(y). Используя формулу бинома Ньютона, получаем

\begin{matrix} f(x)&=&x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n= \\ &=&(y+\alpha)^n +a_1(y+\alpha)^{n-1}+a_2(y+\alpha)^{n-2}+\dots+a_n = \\ &=&y^n + C_n^1 \alpha y^{n-1} +C_n^2 \alpha^2 y^{n-2}+\dots+ \alpha^n + \\ & & \ \qquad + a_1y^{n-1}+a_1 C_{n-1}^1 \alpha y^{n-2}+\dots +a_1\alpha^{n-1} + \\ & & \quad \qquad \qquad +a_2y^{n-2} + \dots + a_n. \end{matrix}

Понятно, что если положить \alpha= - a_1/n, то коэффициент при y^{n-1} исчезнет. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже предварительно подвергнут такому преобразованию: f(x)=x^n+a_2x^{n-2}+\dots+a_n.

Уравнение третьей степени: формула Кардано

Рассмотрим уравнение третьей степени:

x^3+p\,x+q=0

Сделаем в этом уравнении замену переменной: x=u+v, введя две неизвестные u_{} и v_{}; получим:

u^3+v^3+3\,uv(u+v)+p(u+v)+q=0 \ .

Сгруппируем:

u^3+v^3+(3\,uv+p)(u+v)+q=0 \ .

Подчиним теперь неизвестные u_{} и v_{} условию

3\,uv+p=0 \ \iff \ uv=-\frac{p}{3} \ .

Тогда предыдущее уравнение приведется к виду

u^3+v^3=-q \ .

Итак, для определения неизвестных величин u_{} и v_{} мы получили систему уравнений

u^3+v^3=-q,\ uv=-\frac{p}{3} .

Возведя последнее уравнение в куб, получим

u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \ .

Два полученных равенства, связывающие u^{3} и v^{3}, позволяет утверждать, что эти величины являются решениями квадратного уравнения:

t^2+q\,t- \frac{p^3}{27}=0 \ .

Выражение

\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}

называется дискриминантом кубического уравнения.

!

Понятие дискриминанта вводится и для полинома произвольной степени: см. ☞ ЗДЕСЬ. Однако общее определение в частном случае полинома третьей степени отличается знаком от только что данного.2) Во избежание неоднозначности мы будем различать дискриминант кубического полинома и дискриминант определяемого им уравнения.

Решив квадратное уравнение, получим:

u^3=-\frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta},\ v^3=-\frac{q}{2}- \sqrt{\Delta} \ .

В итоге имеем формулу для решений уравнения:

x=u+v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} \ ;

она называется формулой Кардано.

И

Исторические заметки об открытии метода решения кубического уравнения ☞ ЗДЕСЬ.

Формула Кардано не очень удобна для практических вычислений. Дело в том, что корень кубический из комплексного числа принимает три различных значения. Решение же, представленное формулой Кардано, имеет в правой части комбинацию из двух кубических корней. Таким образом, получаем 9 всевозможных комбинаций из значений корней кубических. С другой стороны, основная теорема высшей алгебры утверждает, что кубическое уравнение должно иметь только три решения. Для того, чтобы установить соответствие между значениями u_{} и v_{}, обратимся к условию uv=-p/3 . Согласно этому условию, задание значений для u_{} позволит однозначно восстановить v_{}. Пусть

u_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

какое-то одно из трех возможных значений корня кубического. Два оставшихся значения корня кубического получаются домножением u_1 на корни кубические из единицы (см. ☞ ЗДЕСЬ ):

u_2=u_1\varepsilon_1, \ u_3=u_1\varepsilon_2

при

\varepsilon_1=\cos \frac{2\pi}{3} + {\mathbf i} \sin \frac{2\pi}{3}= -\frac{1}{2}+ {\mathbf i} \frac{\sqrt{3}}{2} \ u \ \varepsilon_2=\cos \frac{4\pi}{3} + {\mathbf i} \sin \frac{4\pi}{3}= -\frac{1}{2}- {\mathbf i} \frac{ \sqrt{3}}{ 2} \ .

Если теперь взять

v_1=-\frac{p}{3u_1} \ ,

то решения кубического уравнения можно выразить в виде комбинаций u_1 и v_1:

\begin{array}{ccl} \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&u_2+v_2=u_2-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_2}=u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_1\varepsilon_1} =u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p\varepsilon_2}{\displaystyle 3u_1}=u_1\varepsilon_1+v_1\varepsilon_2,\\ \lambda_3&=&u_3+v_3=u_1\varepsilon_2+v_1\varepsilon_1 \ . \end{array}

Окончательно получаем формулы для вычисления корней:

\left\{ \begin{array}{lcl} \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1) +{\mathbf i} \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1),\\ \lambda_3&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1) -{\mathbf i} \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1), \end{array} \right.

где u_{1} — одно из значений корня кубического, а v_{1} связано с ним соотношением v_1=-p/(3u_1).

П

Пример [1]. Решить уравнение x^3-6{\mathbf i}\,x^2-10\,x+8 {\mathbf i}=0.

Решение. Подстановка x=y+2 {\mathbf i} приводит уравнение к виду

y^3+2\,y+4{\mathbf i} =0 \ ,

т.е. p=2,\,q=4 {\mathbf i}. Далее

\Delta=-\frac{100}{27} \ \Rightarrow \ \sqrt{\Delta} = \pm \frac{10 {\mathbf i}}{3\sqrt{3}} \ \Rightarrow \ u_1=\sqrt[3]{\left(-2 + \frac{10}{3\sqrt{3}} \right){\mathbf i}} \ .

Одно из значений последнего корня:

u_1=-{\mathbf i}\, \sqrt[3]{-2 + \frac{10}{3\sqrt{3}}} \ ,

это выражение можно упростить, если повезет заметить, что подкоренное выражение равно \left(-1+1/{\sqrt{3}}\right)^3:

u_1={\mathbf i}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\ \Rightarrow \ v_1=-\frac{p}{3u_1}= {\mathbf i} \left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \ .

Получаем:

\mu_1=2\, {\mathbf i} ,\ \mu_2=1- {\mathbf i},\ \mu_3=-1- {\mathbf i} \ .

Значения корней исходного уравнения получатся «сдвигом» на 2 {\mathbf i}.

Ответ. 4{\mathbf i},\, 1 + {\mathbf i},\, -1+ {\mathbf i}.

Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами

Пусть коэффициенты p^{} и q^{} уравнения x^{3}+p\,x+q=0 вещественны. Тогда и дискриминант

\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}

этого уравнения — тоже вещественное число. В зависимости от знака этого числа, уравнение будет иметь разное число вещественных корней.

I. Пусть \Delta>0. Тогда \sqrt{\Delta} является числом вещественным, и мы будем считать его положительным. В формуле для u_1=\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{\Delta}} в качестве значения кубического корня возьмем единственное его вещественное значение:

u_1 \in \mathbb R \ \Rightarrow \ v_1 \in \mathbb R \ .

Согласно формулам

\begin{array}{ccl} \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&u_2+v_2=u_2-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_2}=u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_1\varepsilon_1} =u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p\varepsilon_2}{\displaystyle 3u_1}=u_1\varepsilon_1+v_1\varepsilon_2,\\ \lambda_3&=&u_3+v_3=u_1\varepsilon_2+v_1\varepsilon_1 \ . \end{array}

получим: корень \lambda_{1} уравнения веществен, а \lambda_{2} и \lambda_{3} — мнимы и комплексно-сопряжены.

П

Пример. Решить уравнение

x^3-\frac{1}{2} \, x-\frac{1}{2} =0 .

Решение. Здесь

p=-\frac{1}{2},\ q=-\frac{1}{2},\ \Delta=\frac{25}{432},\ u_1=\sqrt[3]{\frac{1}{4}+\frac{5 \sqrt{3}}{36}} \ , \ v_1=\sqrt[3]{\frac{1}{4}-\frac{5 \sqrt{3}}{36}} \ .

Единственный вещественный корень должен получаться в виде суммы чисел u_{1} и v_{1} — «сильно» иррациональных, судя по внешнему виду. Тем не менее, этот корень очевиден: \lambda = 1.

Объяснить эту кажущуюся несуразность можно если заметить, что выражения под кубическими корнями в u_{1} и v_{1} представимы в виде кубов:

\frac{1}{4}+\frac{5 \sqrt{3}}{36}=\left(\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{6} \right)^3 ,\quad \frac{1}{4}-\frac{5 \sqrt{3}}{36}=\left(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{6} \right)^3 \ .

Тогда и два оставшихся корня -1/2 \pm 1/2 \, \mathbf i получаются из общих формул.

II. Пусть \Delta=0. Формулы для корней дают

\lambda_1=2 \sqrt[3]{-q/2} \ , \ \lambda_2= \sqrt[3]{q/2} , \ , \lambda_3= \sqrt[3]{q/2} \ ,

т.е. уравнение имеет кратный корень кратности 2_{} если q\ne 0 и кратности 3_{} если q=0.

III. Пусть \Delta <0. Квадратный корень из этого числа имеет чисто мнимые значения. Если за u_{1} мы возьмем одно из значений корня кубического из комплексного числа и посчитаем v_{1} по формуле v_1=-p /(3u_1), то формулы для корней дадут нам выражения в виде сумм мнимых чисел.

Т

Теорема. В случае \Delta <0 все корни полинома вещественны и различны.

Доказательство. Пусть

u_1= \sqrt[3]{-q/2+\mathbf i\, \sqrt{-\Delta}}= \alpha + \mathbf i\, \beta \ , (\alpha \ne 0, \beta \ne 0)

— одно из значений кубического корня. Тогда соответствующее значение для v_{1}

v_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\mathbf i \, \sqrt{-\Delta}}= \tilde{\alpha} + \mathbf i\, \tilde{\beta} \ ,

связанное с u_{1} соотношением u_1v_{1}=-p/3 будет числом комплексно-сопряженным к u_{1}. В самом деле:

u_1^3=-\frac{q}{2}+\mathbf i\, \sqrt{-\Delta} \ \iff \ \left\{ \begin{array}{rl} \alpha^3-3\, \alpha \beta^2 &= - q/2, \\ 3\, \alpha^2 \beta - \beta^3 &= \sqrt{-\Delta} \end{array} \right. \ ,
v_1^3=-\frac{q}{2}- \mathbf i\, \sqrt{-\Delta} \ \iff \ \left\{ \begin{array}{rl} \alpha^3-3\, \tilde{\alpha} \tilde{\beta}^2 &= - q/2, \\ 3\, \tilde{\alpha}^2 \tilde{\beta} - \tilde{\beta}^3 &= -\sqrt{-\Delta} \end{array} \right. \ ,

Поделим друг на друга соответствующие уравнения получившихся систем:

\frac{ \beta^3 \left[ \left( \alpha/\beta \right)^3 -3\, \alpha/\beta \right] } { \tilde{\beta}^3\left[ \left(\tilde{\alpha}/\tilde{\beta} \right)^3- 3\, \tilde{\alpha}/{\tilde{\beta}} \right] }=1 \ , \ \frac{ \alpha^3 \left[ 3\, \beta/\alpha - \left(\beta/\alpha \right)^3 \right] } { \tilde{\alpha}^3\left[ 3\, \tilde{\beta}/\tilde{\alpha} - \left(\tilde{\beta}/\tilde{\alpha} \right)^3 \right] }=-1

и упростим их, воспользовавшись соотношением между u_{1} и v_{1}:

u_1v_1=-\frac{p}{3} \in \mathbb R \ \Rightarrow \ \alpha \tilde{\beta} + \tilde{\alpha} \beta = 0 \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{\beta}=- \frac{\tilde{\alpha}}{\tilde{\beta}} \ .

Получим \tilde{\alpha}=\alpha,\ \tilde{\beta}=-\beta.

Корни полинома:

\left\{ \begin{array}{lcl} \lambda_1&=&u_1+v_1 = 2\, \alpha, \\ \lambda_2&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1)+ \mathbf i \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1)= -\alpha-\beta \sqrt{3},\\ \lambda_3&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1) -\mathbf i \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1)= -\alpha+\beta \sqrt{3}, \end{array} \right.

все оказываются вещественными.

Очевидно, что \lambda_{2} \ne \lambda_3. Если \lambda_1=\lambda_2, то \beta=-\alpha \, \sqrt{3}, и тогда

u_1=\alpha (1- \mathbf i \sqrt{3}) \ \quad \ u_1^3=-8\, \alpha^3 \in \mathbb R \ ,

т.е. u_1^3 — вещественное число. Простой проверкой устанавливаем, что это невозможно. Таким образом \lambda_1\ne \lambda_2 и аналогично устанавливаем, что \lambda_1\ne \lambda_3.

П

Пример. Решить уравнение x^3-15\,x-4=0.

Решение. Здесь \Delta=-121 и u_1=\sqrt[3]{2+ 11\, \mathbf i}. Для того, чтобы получить корни уравнения в виде вещественных чисел, извлечем корень кубический из комплексного числа:

\sqrt[3]{2+ 11\, \mathbf i}=\alpha+ \mathbf i\, \beta \ , \ \{\alpha, \beta \} \in \mathbb R \ \iff \ \left\{ \begin{array}{rl} \alpha^3-3\, \alpha \beta^2 &= 2, \\ 3\, \alpha^2 \beta - \beta^3 &= 11 \end{array} \right. \ \Rightarrow \ 4\, \alpha^3-3\, \alpha \sqrt[3]{4+121} - 2 =0 .

Один из корней последнего уравнения угадывается: \alpha=2; подстановка в систему дает значение для \beta: \beta=1. Итак, \sqrt[3]{2+ 11\, \mathbf i}=2 + \mathbf i и по формулам получаем: \lambda_1=4,\, \lambda_2=-2+\sqrt{3},\, \lambda_3=-2-\sqrt{3}.

В только что рассмотренном примере формула Кардано позволяет получить вещественные корни полинома — даже если для их выражения приходится иметь дело с мнимыми числами. Попробуем, однако, применить тот же прием ко следующему примеру.

П

Пример [2]. Решить уравнение x^3-3\,x+1=0.

Решение. Здесь \Delta=-\frac{3}{4} и u_1=\sqrt[3]{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\, \mathbf i}.

\sqrt[3]{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\, \mathbf i}= \alpha+ \mathbf i\, \beta \ \Rightarrow \ 4\, \alpha^3-3\, \alpha +\frac{1}{2} =0 \ .

Умножив последнее уравнение на 2_{} и сделав в нем замену переменной A = 2\alpha мы придем к уравнению

A^3-3\, A +1 =0 \ ,

т.е. вернемся к исходному уравнению!

Вывод: все корни полинома вещественны, но в радикалах их можно представить только с помощью мнимых чисел.

И

Историческая справка. С этим парадоксом — известным как неприводимый случай3) — столкнулись уже первые исследователи: Тарталья и Кардано. Первый не смог разрешить его. Несомненная заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа \sqrt{-1}, постулировав правило умножения: \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -1; все остальное стало делом техники. Иными словами, рождение аппарата комплексных чисел обязано знакомому каждому учащемуся приему «подгонки решения под известный ответ»… Психологические трудности оправдания такого «нечестного» приема описаны Кардано: «Умолчим о нравственных муках и умножим 5+\sqrt{-15} на 5-\sqrt{-15}.» И еще три столетия привыкали математики к этим новым мнимым числам, «амфибиям между бытием и небытием»; время от времени пытаясь совершенно от них избавиться, «закрыть» их. Только с XIX века они совершенно прижились в науке.

Как разрешить этот парадокс?

Как получить вещественный вид для корней полинома? На помощь приходит альтернативный алгебраическому способ извлечения корня кубического из комплексного числа: способ, основанный на представлении этого числа в тригонометрической форме.

Теорема. В случае \Delta<0 вещественные корни полинома x^3+p\,x+q задаются формулами:

\lambda_1= 2\, \sqrt{- \frac{p}3}\cos \frac{\varphi}3 \ , \quad \lambda_2= 2\, \sqrt{- \frac{p}3}\cos \left(\frac{\varphi}3+\frac{2\,\pi}{3} \right) \ , \quad \lambda_3= 2\, \sqrt{-\frac{p}3}\cos \left(\frac{\varphi}3-\frac{2\,\pi}{3} \right)

при

\varphi=\operatorname{arccos} \left( \frac{3\,q}{2\,p} \sqrt{-\frac{3}p} \right) \ .

Доказательство. Если \Delta = q^2/4+p^3/27 < 0, то, очевидно, p<0; таким образом, под корнем квадратным в формулах стоит положительное число. Вычисляем тригонометрическую форму для числа, стоящего под знаком кубического корня в выражении для u_{1}:

-q/2+\mathbf i\, \sqrt{-\Delta} = r(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi) \quad npu \quad r^2=(q/2)^2-\Delta=-p^3/27 \ , \cos \varphi=\frac{-q/2}{r}=\frac{3\,q}{2\,p} \sqrt{-\frac{3}p} \ .
u_1=\sqrt{-\frac{p}{3}}\left(\cos \frac{\varphi}3 + \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}3 \right),\ u_2=\sqrt{-\frac{p}{3}}\left(\cos \left( \frac{\varphi}3+\frac{2\,\pi}3\right) + \mathbf i\, \sin \left(\frac{\varphi}3+\frac{2\,\pi}3\right) \right),
u_3=\sqrt{-\ \frac{p}{3}}\left(\cos \left( \frac{\varphi}3+\frac{4\,\pi}3 \right) + \mathbf i\, \sin \left(\frac{\varphi}3+\frac{4\,\pi}3\right)\right)=\sqrt{-\ \frac{p}{3}}\left(\cos \left( \frac{\varphi}3-\frac{2\,\pi}3\right) + \mathbf i\, \sin \left(\frac{\varphi}3-\frac{2\,\pi}3\right)\right) \ .

Число, стоящее под знаком кубического корня в выражении для v_{1}, является комплексно-сопряженным к только что приведенному:

-q/2-\mathbf i\, \sqrt{-\Delta} = r(\cos \varphi - \mathbf i\, \sin \varphi) \ .

После извлечения кубических корней, значения u_{j} и v_{j} должны оставаться комплексно-сопряженными. Для завершения доказательства достаточно использовать формулу \lambda_j=u_j+v_j=2\,\mathfrak{Re} (u_j).

П

Пример. Решить уравнение из предыдущего примера: x^3-3\,x+1=0.

Решение. Здесь p=-3, q=1 и \displaystyle \varphi = \operatorname{arccos} \left(- \frac{1}{2} \right) =\frac{2\,\pi}{3}.

Ответ.

2 \cos \frac{2\pi}{9} \approx 1.53208 \ ,\quad 2 \cos \frac{8\pi}{9} \approx -1.87938\ , \quad 2 \cos \frac {-4\pi}{9} \approx 0.34729 \ .

Проверка может быть выполнена применением формулы приведения для степени косинуса, приведенной ☞ ЗДЕСЬ.

П

Пример. Решить уравнение x^3-6\,x+3=0.

Решение. Здесь p=-6, q=3 и \displaystyle \varphi = \operatorname{arccos} \left(- \frac{3}{4\sqrt{2}} \right) \approx 2.1297861.

Ответ. \approx 2.145103,\ \approx -2.669079,\ \approx 0.523976.

Уравнение четвертой степени

рассмотрим в виде:

x^4+p\,x^2+q\,x+r=0 ,

перепишем его в виде

x^4=-p\,x^2-q\,x-r

и прибавим к обеим частям x^2t+t^2/4, где t — новая неизвестная:

x^4+x^2t+t^2/4=(t-p)\,x^2-q\,x +(t^2/4-r) \ .

Левая часть получившегося уравнения является полным квадратом:

\left(x^2+t/2 \right)^2 =(t-p)\,x^2-q\,x+(t^2/4-r) \ .

Подберем теперь значение t так, чтобы и правая часть стала полным квадратом.

Т

Теорема. Для того, чтобы квадратный полином Ay^2+By+C был квадратом полинома первой степени, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант B^2-4\,AC был равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Если Ay^2+By+C\equiv (ky+ \ell)^2, то A=k^2,\, B=2\,k\ell,\, C=\ell^2 и тогда очевидно B^2-4\,AC=0.

Достаточность.

Ay^2+By+C\equiv Ay^2+By+\frac{B^2}{4A}+C-\frac{B^2}{4A}\equiv \left(\sqrt{A}y+\frac{B}{2\sqrt{A}} \right)^2 +\frac{4\,AC-B^2}{4A}

Если дискриминант равен нулю, то правая часть является полным квадратом.

Применяя этот результат к правой части полученного уравнения, находим условие на параметр t, при котором это выражение станет полным квадратом:

q^2-4\,(t-p)(t^2/4-r)=0\ \iff \ t^3-p\,t^2-4\,r\,t+(4\,pr-q^2)=0

Это уравнение называется резольвентой Феррари для уравнения x^4+p\,x^2+q\,x+r=0.

Поскольку резольвента Феррари является уравнением кубическим, то его можно разрешить в радикалах по методу изложенному ВЫШЕ. Обозначим через t_1 какой-то из его корней. При этом значении t правая часть уравнения

\left(x^2+t/2 \right)^2 =(t-p)\,x^2-q\,x+(t^2/4-r) \ .

будет полным квадратом:

(t_1-p)\,x^2-q\,x+(t_1^2/4-r) \equiv \left(Kx+L \right)^2 \quad npu \quad \ K= \sqrt{t_1-p},\, L= -\frac{q}{2\sqrt{t_1-p}} \ .

Следовательно, уравнение это уравнение приобретает вид:

\left(x^2+ t_1/2 \right)^2 = \left(Kx+L \right)^2

и разлагается на два квадратных:

x^2+t_1/2 =Kx+L \quad u \quad x^2+t_1/2 =-Kx-L \ .

Последние, по их решении, и дают четыре значения корней уравнения четвертой степени.

§

Если обозначить корни этих квадратных уравнений через x_1,x_2 и, соответственно, x_3,x_4, то они будут связаны с корнем t_{1} резольвенты Феррари равенством t_1=x_1x_2+x_3x_4. В самом деле, это равенство следует из двух формул Виета: x_1x_2=t_1/2-L,\, x_3x_4=t_1/2+L. Остальные корни резольвенты получаются в результате перестановок t_2=x_1x_3+x_2x_4,\, t_3=x_1x_4+x_2x_3.

П

Пример [2]. Решить уравнение x^4+4\,x-1=0 .

Решение. Здесь p=0,\,q=4,r=-1 и резольвента Феррари имеет вид

t^3+4\,t-16=0 \ .

Последнее уравнение имеет корень t_1=2. Следовательно, исходное уравнение можно переписать в виде:

(x^2+1)^2 =\left(\sqrt{2}x- \sqrt{2}\right)^2 \ .

Оно распадается на два квадратных:

x^2+1=\sqrt{2}\, x- \sqrt{2} \ u \ x^2+1=-\sqrt{2}\, x + \sqrt{2} \ .

Ответ. \frac{1\pm \mathbf i \, \sqrt{\sqrt{8}+1 }}{\sqrt{2}},\ \frac{-1\pm \, \sqrt{\sqrt{8}-1 }}{\sqrt{2}}.

Преобразование Чирнгауза

Успех, достигнутый в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода была очевидна: свести решение уравнения n_{}-й степени к решению уравнения (n-1)_{}-й степени. Одну из возможных вариаций этого подхода поясним на примере.

П

Пример. Решить уравнение x^3+6\,x-2=0.

Решение. Обозначим неизвестные корни полинома f(x)=x^3+6\,x-2 через \lambda_1,\lambda_2, \lambda_3. Построим полином F_{}(y), корнями которого являются величины

\mu_j=\lambda_j^2+2\, \lambda_j+4 .

Выражение

F(y)= (y-\mu_1)(y-\mu_2)(y-\mu_3)

является симметрическим полиномом относительно \lambda_1,\lambda_2 и \lambda_{3}. Следовательно, по теореме Гаусса о симметрических полиномах, коэффициенты F_{}(y) должны полиномиально выражаться через коэффициенты f_{}(x), т.е. быть числами целыми. Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат:

F(y)\equiv y^3-108 .

Корни этого полинома легко определить:

\mu_1=3\sqrt[3]{4},\ \mu_2= 3\sqrt[3]{4} \left(-\frac{1}{2} +\mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \right),\ \mu_3= 3\sqrt[3]{4}\left(-\frac{1}{2} -\mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \ .

Теперь находим \lambda_{j} из квадратных уравнений

\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2},\ -2-\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2},
\frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right) + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right),\ -2 + \frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}\right) - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right),
\frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right) - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right),\ -2 + \frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}\right) + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right).

Подстановкой в исходное уравнение выделяем истинные его корни.

Ответ. \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2},\, \frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}\left(-\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right) \pm \mathbf i \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} \left(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}\right).

Подобное преобразование полинома f_{}(x) в полином F_{}(y) той же степени, имеющий корнями числа g(\lambda_1),\dots, g(\lambda_n) при произвольном полиноме g(x)\in \mathbb A[x], называется преобразованием Чирнгауза.

И

Биографические заметки о Чирнгаузе ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Найти такое преобразование Чирнгауза, которое преобразует исходный полином к виду y^n-a. Корни последнего, очевидно, выражаются в радикалах. Если при этом, \deg g < n, то мы сведем решение уравнения n_{}-й степени к уравнению меньшей степени.

Поставленная задача разбивается на две подзадачи:

  1. практического вычисления преобразования для заданных полиномов f_{}(x) и g_{}(x); и
  2. подборе полинома g_{}(x), приводящего f_{}(x) к требуемому уравнению y^n-a.

Первая подзадача достаточно конструктивно решается применением результанта.

Т

Теорема. Существует единственный нормализованный полином F_{}(y) степени n_{}, решающий задачу:

F(y)\equiv {\mathcal R}_{x}(f(x),y-g(x))/a_0^m \ ;

здесь результант рассматривается для полиномов относительно переменной x_{}. Коэффициенты F_{}(y) рационально зависят от коэффициентов f_{}(x) и g_{}(x).

Результант имеет разные детерминантные представления, поэтому и полином F_{}(y) можно представлять в виде различных определителей.

П

Пример. Найти преобразование Чирнгауза y=x^2+x-1 полинома f(x)=x^3-2\,x+3.

Решение. Если результант вычислять с помощью представления Сильвестра, то получим:

F(y)={\mathcal R}(x^3-2\,x+3,\ -x^2-x+(1+y))=
=-\left| \begin{array}{rrccc} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1+y \\ 0 & -1 & -1 & 1+y & 0 \\ -1 & -1 & 1+y & 0 & 0 \end{array}\right| =y^3-y^2+6y-4 \ .

Следующий способ нахождения преобразования Чирнгауза является развитием метода Безу вычисления результанта.

Найдем остатки от деления x^kg(x) на f_{}(x)

g_k(x) = b_{k0}+b_{k1}x+\dots +b_{k,n-2}x^{n-2}+b_{k,n-1}x^{n-1} \quad npu \quad k\in\{0,1,\dots,n-1\}

(здесь изменен порядок нумерации коэффициентов по сравнению с тем, что указан при изложении ☞ метода Безу ) и составим матрицу из коэффициентов:

B=[b_{kj}]_{k,j=0}^{n-1} \ .
Т

Теорема [Эрмит]. Имеем:

F(y)=(-1)^{n}\det (B - yE)=(-1)^n\left| \begin{array}{ccccc} b_{00}-y & b_{01} & b_{02} & \dots & b_{0,n-1} \\ b_{1,0} & b_{1,1}-y & b_{1,2} & \dots & b_{1,n-1} \\ \dots & & & & \dots \\ b_{n-1,0} &b_{n-1,1} & b_{n-1,2} & \dots & b_{n-1,n-1}-y \end{array}\right| \ .

§

Фактически полином F_{}(y) совпадает с характеристическим полиномом матрицы B_{} (впрочем, этот факт совершенно неважен для дальнейшего).

Доказательство. Равенства

y=g(x),\, xy=g(x)x,\, \dots, x^{n-1}y=g(x)x^{n-1} \ ,

при подстановке корня \lambda_j полинома f(x) переходят в

y=g_0(\lambda_j),\,\lambda_jy=g_1(\lambda_j),\dots, \lambda_j^{n-1}y=g_{n-1}(\lambda_j) \ .

Рассмотрим получившиеся уравнения как линейную однородную систему относительно столбца неизвестных

X=[1,\lambda_j,\dots,\lambda_j^{n-1}]^{\top} \ .

Поскольку эта система имеет нетривиальное решение, то (на основании следствия к теореме Кронекера-Капелли ) определитель ее матрицы должен обращаться в нуль.

П

Пример. Решить предыдущий пример по методу Эрмита.

Решение. Имеем

g_0(x)\equiv g(x)=-1+x+x^2, \ g_1(x)=-3+x+x^2, \ g_2(x)=-3-x+x^2

и, следовательно,

F(y)=(-1)^3\left| \begin{array}{ccc} -1-y & 1 & 1 \\ -3 & 1-y & 1 \\ -3 & -1 & 1-y \end{array}\right|=y^3-y^2+6\,y-4 \ .

Будем решать теперь вторую из сформулированных выше подзадач: подобрать преобразование Чирнгауза таким образом, чтобы обнулить как можно большее число коэффициентов у полинома F_{}(y).

П

Пример. Для полинома f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 \in \mathbb C[x] подобрать преобразование Чирнгауза вида y=x^2+b_1x+b_2\in \mathbb C[x] так, чтобы получившийся в результате преобразования полином имел вид F(y)=y^3+c_3.

Решение. Преобразование Чирнгауза при первоначально неопределенных b_1 и b_2 дает:

F(y)=y^3+c_1y^2+c_2y+c_3

при4)

\begin{array}{ccl} c_1&=&-a_1^2+2\,a_2+a_1b_1-3\,b_2 \ , \\ c_2&=&-a_1a_2b_1+a_2b_1^2-2\,a_1a_3+a_2^2-4\,a_2b_2+3\,a_3b_1+2\,a_1^2b_2 -2\,a_1b_1b_2+3\,b_2^2 \ , \\ c_3&=&a_1b_1b_2^2-a_1^2b_2^2+a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_1-a_3^2+2\,a_2b_2^2 + \\ & &+a_3b_1^3-a_2b_1^2b_2-a_1a_3b_1^2+2\,a_1a_3b_2-b_2^3 -3\,a_3b_1b_2-a_2^2b_2 \ . \end{array}

Требуется подобрать b_1 и b_2 так, чтобы коэффициенты c_1 и c_2 обратились в нуль. Получаем систему из двух уравнений относительно b_1 и b_2: первое из них — линейное, второе — квадратное. Эта система разрешима в радикалах:

b_1=\frac{2\,a_1^3-7\,a_1a_2 +9\,a_3 \pm \sqrt{-3 {\mathcal D}(f)} }{2(a_1^2-3\,a_2)}

а b_2 выражается через b_1 по формуле

b_2=\frac{1}{3}(a_1b_1-a_1^2+2\,a_2) \ .

Здесь {\mathcal D}(f)=a_1^2a_2^2-4a_1^3a_3-4\,a_0a_2^3+18\,a_0a_1a_2a_3-27\,a_0^2a_3^2, т.е. является дискриминантом кубического полинома; предполагается также, что a_1^2-3\,a_2\ne 0. Итак, преобразование Чирнгауза при указанных значениях параметров b_1 и b_2 дает полином y^3+c_3 (в приведенное выше выражение для c_3 также следует подставить полученные выражения для b_1 и b_2).

?

Найти преобразование Чирнгауза, позволяющее решить в радикалах уравнение x^3+a_1x^2+\frac{1}{3}\, a_1^2x+a_3=0.




Статья не закончена!







Разрешимость в радикалах

Успех достигнутый в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода очевидна из предыдущих пунктов: свести решение уравнения n_{}-й степени к решению уравнения (n-1)-й степени. Однако, несмотря на почти трехвековые усилия лучших математиков мира, решить уравнение пятой степени не удавалось. Наконец, в начале XIX века был получен отрицательный результат.

Т

Теорема [Руффини, Абель]. Уравнение степени выше четвертой в общем случае неразрешимо в радикалах.

П

Пример. Уравнение x^5-4\, x -2=0 неразрешимо в радикалах.

Установить разрешимо или нет данное конкретное уравнение в радикалах возможно с помощью теории, развитой французским математиком Галуа.

П

Пример. Уравнение x^5+x+1=0 разрешимо в радикалах, поскольку x^5+x+1\equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1).

Отрицательный характер результата теоремы Руффини-Абеля не должен слишком уж разочаровывать. Он означает только лишь то, что корни полинома нельзя представить в виде формулы, состоящей из конечного набора сравнительно простых функций. Тем не менее, если расширить класс допустимых в формуле функций (или допустить бесконечность числа операций), представление для корня можно найти (см., к примеру, ☞ ЗДЕСЬ ). Наконец, для практических задач часто более важна не столько «красивая» аналитическая формула для корня, сколько приближенное его значение с требуемой точностью.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Журавский А.М. Сборник задач по высшей алгебре. М.-Л.ГТТИ. 1933

[2]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[3]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

1) radix, мн. radices (лат.) — корень; radicalis (лат.) — обладающий корнем. Современное обозначение \sqrt{\ } произошло от стилизованной буквы r_{}.
2) Так получилось: историческая традиция!
3) (лат.) casus irreducibilis
4) Если читатель решит, что приведенные ниже вычисления производились мною «вручную» — … пусть думает обо мне также хорошо и дальше! ;-) Проверять всё-таки советую с использованием какого-нибудь специализированного пакета вычислений!

2013/02/11 23:39 редактировал au