УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Для понимания материалов этого раздела неплохо было бы просмотреть материалы о ☞ полиноме одной переменной и об ☞ определителе.


Результант

Будем обозначать через \mathbb A_{} какое-либо из множеств \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} или \mathbb C_{}.

Результант в форме Сильвестра

Для полиномов f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n и g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m при a_{0}\ne 0, b_0\ne 0 рассмотрим квадратную матрицу порядка m+n_{}

M=\left(\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}&b_m\\ 0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&\ldots&0\\ b_0&\ldots&\ldots&&b_m&0&\ldots&&&0 \end{array}\right) \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} m \\ \left. \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n \end{array}

(элементы выше a_{n} и b_{0}, и ниже a_{0} и b_{m} все равны нулю). Выражение

{\mathcal R}(f,g)= (-1)^{n(n-1)/2} \det M

называется результантом1) (в форме Сильвестра) полиномов f_{} и g_{} .

§

В подавляющем большинстве учебников определение результанта приводится в несколько иной форме: строки коэффициентов полинома g_{}(x) переставляются местами так, чтобы образовывались ступеньки из них, поднимающиеся из правого нижнего угла. Так, к примеру,

{\mathcal R}(a_0x^3+a_1x^{2}+a_2x+a_3,\ b_0x^3+b_1x^{2}+b_2x+b_3)=
= \left|\begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3 & &\\ & a_0&a_1&a_2&a_3 & \\ & & a_0&a_1&a_2&a_3 \\ b_0&b_1&b_2&b_3 & &\\ & b_0&b_1&b_2&b_3 & \\ & & b_0&b_1&b_2&b_3 \end{array}\right| \ .

Такое определение позволяет сэкономить на знаке (-1)^{n(n-1)/2}, стоящем в определении. Тем не менее, из соображений, которые будут понятны НИЖЕ, мне удобней использовать именно приведенную выше форму матрицы.

П

Пример.

{\mathcal R}(a_0x^2+a_1x+a_2,\ b_0x^2+b_1x+b_2) =(a_0b_2-a_2b_0)^2-(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1)

Т

Теорема. Если \lambda_{1},\dots,\lambda_nкорни полинома f_{}(x), а \mu_{1},\dots,\mu_mкорни полинома2) g_{}(x) , то

{\mathcal R}(f,g)= a_0^m b_0^n \prod_{k=1}^m \prod_{j=1}^n (\lambda_j - \mu_k) \ .

=>

{\mathcal R}(f,g)= a_0^m \prod_{j=1}^n g(\lambda_j)= (-1)^{mn} b_0^n \prod_{k=1}^m f(\mu_k) \ .

=>

{\mathcal R}(f,g)=0_{} тогда и только тогда, когда полиномы f_{}(x) и g_{}(x) имеют общий корень.

§

Откуда возникает результант в форме Сильвестра см. ЗДЕСЬ

П

Пример. Найти все значения параметра p_{}, при которых полиномы x^{3}+p\,x+1 и x^{2}+p\,x+1 имеют общий корень.

Решение. Вычисляем определитель с помощью элементарных преобразований строк:

{\mathcal R}(x^3+p\,x+1,\ x^2+p\,x+1)= (-1)^{3\cdot 2/2}\left| \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & p & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & p & 1 \\ 0 & 0 & 1 & p & 1 \\ 0 & 1 & p & 1 & 0 \\ 1 & p & 1 & 0 & 0 \end{array} \right| =- \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & p & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & p & 1 \\ 0 & 0 & 1 & p & 1 \\ 0 & 0 & p & 1-p & -1 \\ 0 & p & 1-p & -1 & 0 \end{array} \right|=

(первую строку вычли из последней, вторую — из предпоследней), разложим по элементам первого столбца:

=-\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & p & 1 \\ 0 & 1 & p & 1 \\ 0 & p & 1-p & -1 \\ p & 1-p & -1 & 0 \end{array} \right|=- \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & p & 1 \\ 0 & 1 & p & 1 \\ 0 & p & 1-p & -1 \\ 0 & 1-p & -1-p^2 & -p \end{array} \right|=

(из последней строки вычли первую, домноженную на p_{}), снова разложим по первому столбцу:

=-\left| \begin{array}{ccc} 1 & p & 1 \\ p & 1-p & -1 \\ 1-p & -1-p^2 & -p \end{array} \right|= -\left| \begin{array}{ccc} 1 & p & 1 \\ p+1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|=

(ко второй строке прибавили первую, к третьей — первую, домноженную на p_{}), разложим по последнему столбцу:

=-\left| \begin{array}{cc} p+1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right|=-(-(p+1)-1)=p+2 \ .

Ответ. p=-2_{}.

Проверка. x^{3}-2\,x+1\equiv (x-1)(x^2+x-1),\ x^2-2\,x+1\equiv (x-1)(x+1).

?

Найти все значения параметра p_{}, при которых полиномы x^{3}+p\,x^2-14 и x^{3}+p\,x-14 имеют общий корень.

§

В частном случае g_{}(x)\equiv f^{\prime}(x) результант превращается в дискриминант.

!

Основная цель введения результанта – исключение переменных в системе полиномиальных уравнений .

Свойства

1. Если \deg f(x) = n_{}, \deg g(x)=m_{}, то

{\mathcal R}(f,g)=(-1)^{nm}{\mathcal R}(g,f) \ .

2.

{\mathcal R}\left(f_1\cdot f_2,\, g\right)={\mathcal R}(f_1,\,g)\cdot {\mathcal R}(f_2,\, g)

3.

{\mathcal R}(Af(x)+Bg(x),Cf(x)+Dg(x))=(AD-BC)^n{\mathcal R}\left(f(x),g(x)\right)

Последнее равенство справедливо в предположении, что

\deg f= n\ge m =\deg g \ge 1 \quad u \quad \deg (Af(x)+Bg(x))=\deg (Cf(x)+Dg(x))= n \ .

4. Если f(x)=a_{0}x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n и g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m и числа a_{0},a_n,b_0,b_m отличны от нуля, то

{\mathcal R}(f,g) = (-1)^{mn}{\mathcal R}(a_nx^n+\ldots+a_0,b_mx^m+\ldots+b_0) \ .

Результант как полиномиальная функция коэффициентов

По построению, результант является полиномом с целыми коэффициентами относительно коэффициентов полиномов f_{}(x) и g_{}(x):

{\mathcal R}(a_0 x^n+ \ldots + a_{n}, b_0x^m + \ldots + b_m)\equiv R(a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m) \in {\mathbb Z}[a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m] \ ;

степень этого полинома равна mn_{}. Как полином от a_0,\dots,a_{n} результант является однородным степени m_{}; как полином от b_{0},\dots,b_m результант является однородным степени n_{}.

Т

Теорема. Если полиномы f_{}(x) и g_{}(x) имеют единственный общий корень \lambda_{}, то

\lambda^j : \lambda^k = \frac{\partial R}{\partial a_{n-j-\ell}} : \frac{\partial R}{\partial a_{n-k-\ell}} = \frac{\partial R}{\partial b_{m-j-q}} : \frac{\partial R}{\partial b_{m-k-q}}

при любых \{j,k,\ell,q_{} \}\subset \{0,1,2,\dots \}.

Субрезультанты и наибольший общий делитель

Рассмотрим матрицу M_{} из определения результанта и удалим из нее первую и последнюю строки, а также первый и последний столбцы. Получим снова квадратную матрицу порядка m_{}+n-2. Определитель получившейся матрицы:

{\mathcal R}^{(1)}(f,g)= \left|\begin{array}{cccccccc} a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 \\ \vdots&\ddots&&&&&\ddots\\ 0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} \\ 0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}\\ 0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m\\ \vdots&&\ldots&&&& &\vdots\\ b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&0 \end{array}\right| \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \end{array}\right\} m-1 \\ \left. \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n-1 \end{array}

называется первым субрезультантом результанта {\mathcal R}(f_{},g).

Т

Теорема. Для того чтобы полиномы f_{}(x) и g_{}(x) имели один и только один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы

{\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)\ne 0\ .

=>

При выполнении условий предыдущей теоремы единственный общий корень полиномов f_{}(x) и g_{}(x) можно выразить в виде рациональной функции коэффициентов полиномов f_{}(x) и g_{}(x):

\lambda=-{\det M_1^{(1)}\over {\mathcal R}^{(1)}(f,g)} .

Здесь матрица M_1^{(1)} получается из M_{} удалением первой и последней строк, первого и предпоследнего столбцов.

П

Пример. При выполнении условий теоремы для полиномов

f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3

(a_{0} \ne 0, b_0 \ne 0) их общий корень выражается формулой

\lambda =- \left| \begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&0\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_5\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_3\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&0\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array}\right| \Bigg/ \left|\begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array} \right| \ .

Определитель матрицы M_{k}, получаемой из матрицы M_{} вычеркиванием k_{} первых и k_{} последних столбцов, k_{} первых и k_{} последних строк, называется {\mathbf k}-м субрезультантом полиномов f_{} и g_{} и обозначается {\mathcal R}^{(k)}(f,g). Для однообразия будем считать нулевым субрезультантом определитель матрицы M_{}:

{\mathcal R}^{(0)}(f,g)= \det M =(-1)^{n(n-1)/2}{\mathcal R}(f,g) .

П

Пример. Для полиномов f(x)=a_{0}x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 и g(x)=b_{0}x^3+ b_1x^2+b_2x+b_3:

{\mathcal R}^{(2)}(f,\ g)= \left|\begin{array}{cccc} a_0&a_1&a_2&a_3\\ 0&0&b_0&b_1\\ 0&b_0&b_1&b_2\\ b_0&b_1&b_2&b_3 \end{array} \right| ;\ {\mathcal R}^{(3)}(f,\ g) =\left|\begin{array}{cc} 0&b_0\\ b_0&b_1 \end{array}\right| = -b_0^2 .

§

Откуда возникают субрезультанты см. ЗДЕСЬ

Т

Теорема. Для того чтобы полиномы f_{}(x) и g_{}(x) имели наибольший общий делитель степени k>0, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

{\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)= 0,\ \dots , {\mathcal R}^{(k-1)}(f,g)= 0, {\mathcal R}^{(k)}(f,g)\ne 0.

=>

При выполнении условий предыдущей теоремы наибольший общий делитель полиномов f_{}(x) и g_{}(x) можно представить в виде

\operatorname{HOD} (f(x),g(x)) \equiv x^k{\mathcal R}^{(k)}(f,g) +x^{k-1} \det M_k^{(1)} +\ldots +\det M_k^{(k)} .

Здесь M_k^{(j)} — матрица, получаемая из субрезультанта {\mathcal R}^{(k)}(f,g) заменой последнего его столбца на столбец

[a_{m+n-2k+j-1}, a_{m+n-2k+j-2},\dots, a_{n-k+j},b_{m-k+j},b_{m-k+j+1},\dots,b_{m+n-2k+j-1}]^{\top}

(полагаем a_K=0 при K>n и b_L=0 при L>m).

П

Пример. Найти наибольший общий делитель полиномов

f(x)= x^6-x^5+3\,x^3-2\,x^2+1 \quad u \quad g(x)=x^5+x^3+x^2+2\,x+1 \ .

Решение. Опуская вычисления, приведем лишь окончательный результат:

{\mathcal R}(f,g)=0,\ {\mathcal R}^{(1)}(f,g)= 0,\ {\mathcal R}^{(2)}(f,g)= 0, \ {\mathcal R}^{(3)}(f,g)= \left| \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right| =-7 \ne 0

Таким образом, \operatorname{HOD} (f(x),g(x)) имеет степень 3. Для его нахождения составим определитель заменой последнего столбца субрезультанта {\mathcal R}^{(3)}:

\operatorname{HOD} (f(x),g(x)) =\left| \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 0 & 3 & -2\,x^3+x \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3\,x^3-2\,x^2+1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & x^3+x^2+2\,x+1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & x^3+2\,x^2+x \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2\,x^3+x^2 \end{array} \right|=-7\,x^3 +7\,x^2-7\,x-7 \ .

Ответ. x^3-x^2+x+1.

§

В частном случае g(x)\equiv f^{\prime}(x) субрезультанты превращаются в субдискриминанты.

Результант в форме Кронекера

Для полиномов

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\quad u \quad g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m

(a_{0}\ne 0) построим сначала формальное разложение дроби g_{}(x)/f(x) в ряд Лорана по отрицательным степеням x_{}. Для случая \deg g < \deg f выписываем разложение

\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots+\frac{c_j}{x^{j+1}}+\dots \ ,

домножаем обе части на f_{}(x) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x_{} в левой и правой частях получившегося равенства. В случае m=n-1 формулы, выражающие коэффициенты c_{j} через коэффициенты полиномов f_{}(x) и g_{}(x) следующие:

\begin{array}{ll} c_0&=b_{0}/a_0,\\ c_1& =(-c_{0}a_1+b_1)/a_0,\\ c_2& =(-c_{0}a_2-c_1a_1+b_2)/a_0, \\ \dots & \dots \\ c_{n-1}&=(-c_0a_{n-1}-c_1a_{n-2}-\dots-c_{n-2}a_1+b_{n-1})/a_0,\\ c_{K+n}&=(-c_{K}a_{n}-c_{K+1}a_{n-1}-\dots-c_{K+n-1}a_1)/a_0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ . \end{array}

В случае m<n-1 эти же формулы можно применять при дополнительном условии, что полином g_{}(x) считается записанным в виде

g(x) = b_0x^{n-1}+ b_1x^{n-2}+ \dots + b_{n-1} \ ,

где коэффициенты b_0,\dots, b_{n-m} считаются равными нулю. Для случая \deg f \le \deg g сначала вычисляется частное q_{}(x) и остаток g_{1}(x) от деления g_{}(x) на f_{}(x), а далее правильная дробь g_1(x)/f(x) раскладывается по отрицательным степеням x_{} с использованием приведенных выше правил:

\frac{g(x)}{f(x)}=q(x)+\frac{g_1(x)}{f(x)}=q(x)+\frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots+\frac{c_j}{x^{j+1}}+\dots

Вычислив величины c_{0},\dots,c_{2n-2}, cоставим из них ганкелеву матрицу

C= [c_{j+k}]_{j,k=0}^{n-1}= \left(\begin{array}{lllll} c_0&c_1&c_2&\ldots&c_{n-1}\\ c_1&c_2&c_3&\ldots&c_{n}\\ c_2&c_3&c_4&\ldots&c_{n+1}\\ \dots&&&&\dots\\ c_{n-1}&c_{n}&c_{n+1}&\ldots&c_{2n-2} \end{array}\right)\ .

Обозначим C_{1},\dots,C_n ее главные миноры.

Т

Теорема [Кронекер][3].Имеет место формула

{\mathcal R}^{(k)}=a_0^{n+m-2k}C_{n-k} \ ,

связывающая миноры матрицы C_{} с субрезультантами. В частности, справедливо равенство

{\mathcal R}(f,g)=a_0^{n+m} \det C \ .

П

Пример. Определить количество общих корней полиномов

f(x)= 2\,x^5+x^4-x^3+4\,x^2+2\,x-2 \quad u \quad g(x)= 10\,x^3+3\,x^2-6\,x+1 \ .

Решение. С помощью рекурсивных формул вычисляем c_0,\dots,c_8:

\{c_j\}_{j=0}^8 =\{0,5,-1,0,-10, 2,0,20,-4\} \ .

Составляем матрицу C_{}:

C=\left(\begin{array}{rrrrr} 0&5&-1&0&-10\\ 5&-1&0&-10&2\\ -1&0&-10&2&0\\ 0&-10&2&0&20\\ -10&2&0&20&-4 \end{array}\right)

и вычисляем ее главные миноры (начиная с последнего): C_5=0 , C_4=0,\, C_3=251 \ne 0. На основании теоремы ☞ ПУНКТА, заключаем, что \operatorname{HOD}(f,g) имеет степень, равную 2_{}.

Ответ. Два общих корня.

Следующий результат дает явное выражение субрезультантов через корни полинома f_{}(x).

Т

Теорема. Если все корни полинома f_{}(x) простые, то справедливо следующее равенство:

C_p=\sum v(\lambda_{j_1},\dots,\lambda_{j_p})^2\ \frac{g(\lambda_{j_1})}{f'(\lambda_{j_1})}\times \dots \times \frac{g(\lambda_{j_p})}{f'(\lambda_{j_p})} \ ;

здесь суммирование идет по всевозможным наборам индексов

(j_1,\dots, j_p),\ 1\le j_1 < j_2 < \dots < j_p \le n,

а

v(\lambda_{j_1},\dots, \lambda_{j_p})= \prod_{1\leq K<L \leq p}(\lambda_{j_L}-\lambda_{j_K}) \ .

Если, вдобавок, {\mathcal R}(f,g)\ne 0, то

C_{n-1}=(-1)^{n(n-1)/2}\frac{{\mathcal R}(f,g)}{a_0^{m+n-2}} \sum_{j=1}^n \frac{1}{g(\lambda_j)f'(\lambda_j)}\ .

Доказательство основано на теореме 13, приведенной ☞ ЗДЕСЬ.

Результант в форме Безу

Рассмотрим снова полиномы из {\mathbb A}_{}[x]:

f(x)= a_0 x^n+ \dots + a_n \quad u \quad g(x) = b_0 x^m+ \dots + b_m \quad (a_0 \ne 0,b_0 \ne 0)\ .

Найдем остатки от деления x^{k}g(x) на f_{}(x) для k_{}\in \{ 0,\dots,n-1\}:

g_k(x)= b_{k0}x^{n-1}+b_{k1}x^{n-2}+\dots+b_{k,n-1}\ .

Составим матрицу из этих коэффициентов:

B=[b_{kj}]_{k,j=0}^{n-1}

и обозначим B_{1},\dots,B_n ее главные миноры.

Т

Теорема. Имеет место формула

a_0^{m-k}B_{n-k}= {\mathcal R}^{(k)} \ ,

связывающая миноры матрицы B_{} с субрезультантами. В частности, справедливо равенство

{\mathcal R}(f,g) = (-1)^{n(n-1)/2} a_0^m \det B \ .

Доказательство проведем для случая n=5,\, m=3_{} и k=1_{}. Для элементов первых двух строк матрицы B_{} имеем следующие формулы:

b_{00}=0,\ b_{01}=b_{10}=b_0,\ b_{02}=b_{11}=b_1,\ b_{03}=b_{12}=b_2\ , b_{04}=b_{13}=b_3,\ b_{14}=0 \ ;

элементы остальных строк получаются по формулам, связывающим коэффициенты g_{k}(x) с коэффициентами g_{k-1}(x_{}):

b_{kj}=b_{k-1,j+1}-b_{k-1,0}a_{j+1}/a_0\quad npu \quad j \in \{ 0,\dots ,n-1\}\ .

Тогда справедливо следующее матричное равенство:

\left( \begin{array}{cccccc} 1 & & & & & \\ 0 & 1 & & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & -b_{10}/a_0 & 0 & 0 & 1 & \\ -b_{10}/a_0 & -b_{20}/a_0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\ & & &b_0&b_1&b_2\\ & &b_0&b_1&b_2&b_3\\ &b_0&b_1&b_2&b_3& \\ b_0&b_1&b_2&b_3& & \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5\\ & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ & & b_{00} & b_{01} & b_{02} & b_{03}\\ & & b_{10} & b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ & & b_{20} & b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ & & b_{30} & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array}\right) \ .

Переходя в этом равенстве к определителям, получим требуемое.

Еще некоторые представления результанта

Т

Теорема. Пусть g(x)=b_{0}x^m+\dots+b_m \in {\mathbb C}[x] — произвольный полином. Вычислим полином от квадратной матрицы A_{}: g(A)=b_{0}A^m+\dots+b_m E. Тогда

\det g(A) = (-1)^{mn} {\mathcal R}(f,g_{}) ,

где {\mathcal R}(f,g_{})результант полиномов f(x) =\det (A-x_{} E) и g_{}(x).

Этот результат доказывается анализом собственных чисел матрицы A_{}.

Применения результанта

Преобразование Чирнгауза

Задача. Пусть даны два полинома из {\mathbb A}_{}[x]:

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n,\ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m

(a_{0}\ne0,b_0\ne0); обозначим \lambda_{1},\dots,\lambda_n (как правило, неизвестные нам) корни f_{}(x). Построить полином F_{}(y), имеющий корни g(\lambda_{1}),\dots,g(\lambda_n). Нахождение этого полинома называется преобразованием Чирнгауза y=g_{}(x) полинома f_{}(x).

Т

Теорема. Существует единственный нормализованный полином F_{}(y) степени n_{}, решающий задачу:

F(y)\equiv {\mathcal R}_{x}(f(x),y-g(x))/a_0^m \ ;

здесь результант рассматривается для полиномов относительно переменной x_{}. Коэффициенты F_{}(y) рационально зависят от коэффициентов f_{}(x) и g_{}(x).

П

Пример. Найти преобразование Чирнгауза y=x^{2}+x-1 полинома f(x)=x^{3}-2\,x+3.

Решение.

F(y)={\mathcal R}(x^3-2\,x+3,\ -x^2-x+(1+y))=
=-\left| \begin{array}{rrccc} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1+y \\ 0 & -1 & -1 & 1+y & 0 \\ -1 & -1 & 1+y & 0 & 0 \end{array}\right| =y^3-y^2+6y-4 \ .

§

Применение преобразования Чирнгауза в задаче решения алгебраических уравненийЗДЕСЬ

Обобщениями задачи являются следующие (и подобные им).

Задача. Для полинома f_{}(x) степени n_{} построить полином F_{}(y), имеющий корнями всевозможные
a) суммы \lambda_{j} + \lambda_k;
б) произведения \lambda_{j} \lambda_k;
в) квадраты разностей (\lambda_{j} - \lambda_k)^2;

корней \lambda_{1},\dots,\lambda_n полинома f_{}(x) (здесь 1\le j<k\le n_{}).

Устойчивость полинома

Полином f_{}(x) с комплексными коэффициентами называется устойчивым, если все его корни удовлетворяют условию \mathfrak R\mathbf e (x_{})<0.

Понятие устойчивого полинома важно в теории оптимального управления. Следующая теорема дает один из самых распространенных критериев устойчивости.

Т

Теорема [Льенар, Шипар] [3]. Для устойчивости полинома f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n с вещественными коэффициентами и a_{0} > 0 необходимо и достаточно, чтобы

а) все коэффициенты a_{1},\dots, a_n были положительными;

б) все субрезультанты результанта

{\mathcal R}\left(a_n+a_{n-2}Y+a_{n-4}Y^2+\dots,\ a_{n-1}+a_{n-3}Y+a_{n-5}Y^2+\dots \right)

были положительными.

П

Пример. Условие б) для n_{}=7:

{\mathcal R}=\left| \begin{array}{cccccc} a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & & \\ & a_1 & a_3 & a_5 &a_7 & \\ &&a_1 & a_3 & a_5 & a_7 \\ &&a_0 & a_2 & a_4 & a_6 \\ &a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & \\ a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & & \end{array} \right|>0,\ {\mathcal R}^{(1)}=\left| \begin{array}{cccc} a_1 & a_3 & a_5 & a_7 \\ & a_1 & a_3 & a_5 \\ &a_0 & a_2 & a_4 \\ a_0 & a_2 & a_4 & a_6 \end{array} \right|>0,\ {\mathcal R}^{(2)}=\left| \begin{array}{cc} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} \right|>0;

и для n=8:

{\mathcal R}^{(0)}=\left| \begin{array}{ccccccc} a_0 & a_2 & a_4 & a_6 &a_8 & &\\ &a_0 & a_2 & a_4 & a_6 &a_8 & \\ &&a_0 & a_2 & a_4 & a_6 &a_8 \\ && & a_1 & a_3 & a_5 &a_7 \\ &&a_1 & a_3 & a_5 & a_7 &\\ &a_1 & a_3 & a_5 & a_7 &&\\ a_1 & a_3 & a_5 & a_7 &&& \end{array} \right|>0,\ {\mathcal R}^{(1)}=\left| \begin{array}{ccccc} a_0 & a_2 & a_4 & a_6 &a_8 \\ &a_0 & a_2 & a_4 & a_6 \\ & & a_1 & a_3 & a_5 \\ &a_1 & a_3 & a_5 & a_7 \\ a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & \end{array} \right|>0,\ {\mathcal R}^{(2)}=\left| \begin{array}{ccc} a_0 & a_2 & a_4 \\ & a_1 & a_3 \\ a_1 & a_3 & a_5 \end{array} \right|>0,

и {\mathcal R}^{(3)}=a_{1}>0. Последнее условие будет выполнено автоматически при выполнении условия а).

§

Обычно в литературе [4] критерий Льенара-Шипара записывается в ином виде: условия б) теоремы переписываются в неравенства на знак определителей Гурвица

\Delta_k= \left| \begin{array}{llllll} a_1 & a_3 & a_5 & \dots & & \\ a_0 & a_2 & a_4 & \dots & & \\ 0 & a_1 & a_3 & \dots & & \\ 0 & a_0 & a_2 & a_4 & & \\ \vdots & & & & \ddots & \\ 0 & & & & & a_k \end{array} \right| > 0 \quad (a_j=0 \ npu \ j> n) \ .

При этом ограничения выписываются либо только на определители четных порядков либо только нечетных.

То, что при соответствующих четностях k_{} определители \Delta_{k} действительно являются субрезультантами результанта из теоремы проверяется перестановкой строк.

Исключение переменных в системе полиномиальных уравнений

Задача. Пусть f_{}(x,y) и g_{}(x,y)полиномы от переменных x_{} и y_{} с комплексными коэффициентами. Решить систему уравнений

f(x,y)=0,\ g(x,y)=0 \ ,

т.е. определить все пары x_{}= \alpha, y_{}= \beta при \{ \alpha, \beta\} \subset \mathbb C, обращающие каждое из уравнений в верное равенство.

§

В случае, когда полиномы f_{} и g_{} линейные, решение задачи тривиально.

§

В случае, когда коэффициенты полиномов вещественные, задаче можно дать геометрическую интерпретацию. Каждое из уравнений f_{}(x,y)=0 и g_{}(x,y)=0 определяет на плоскости (x_{},y) некоторую алгебраическую кривую. Тогда задачу поиска вещественных решений системы можно считать задачей нахождения точек пересечения заданных кривых. Частным случаем пересечения кривых является их касание.

Представим f(x_{},y) и g_{}(x,y) в виде сумм их форм:

\begin{array}{l} f(x,y)=f_n(x,y)+f_{n-1}(x,y)+\ldots+f_0(x,y) \ ,\\ g(x,y)=g_m(x,y)+g_{m-1}(x,y)+\ldots+g_0(x,y) \ . \end{array}

Относительно коэффициентов старших форм

\begin{array}{l} f_n(x,y)=a_{n0}x^n+a_{n-1,1}x^{n-1}y+\dots+a_{0n}y^n ,\\ g_m(x,y)=b_{m0}x^m+b_{m-1,1}x^{m-1}y+\dots+b_{0m}y^m \end{array}

сделаем следующее

Предположение : a_{n0}\ne 0,a_{0n}\ne 0,b_{m0}\ne 0,b_{0m}\ne 0 \ .

Пара x_{}= \alpha, y= \beta при \{ \alpha, \beta\} \subset \mathbb C_{} будет решением системы тогда и только тогда, когда полиномы f(\alpha,y) и g(\alpha,y) имеют общий корень y_{}=\beta, а, следовательно, на основании основного свойства результанта

{\mathcal R}(f(\alpha,y),g(\alpha,y))=0 \ .

Разложим f(\alpha,y) и g(\alpha,y) по убывающим степеням y_{}

\begin{array}{l} f(\alpha,y)=A_0y^n+A_1(\alpha)y^{n-1}+\dots+A_n(\alpha) ,\\ g(\alpha,y)=B_0y^m+B_1(\alpha)y^{m-1}+\dots+B_m(\alpha) \end{array}

(здесь A_0=a_{0n}\ne0,B_0=b_{0m}\ne 0 по предположению , \deg A_j(\alpha)\le j; \deg B_j(\alpha)\le j) и вычислим определитель Сильвестра:

\begin{array}{r} m\left\{\begin{array}{c} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right. \\ n\left\{\begin{array}{c} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right. \end{array} \left|\begin{array}{cccccccc} A_0&A_1(\alpha)&\dots&&A_n(\alpha)&&\mathbb O &\\ &A_0&\dots&&&A_n(\alpha)& & \\ &&\ddots&&&\dots&\ddots\\ &&&&A_0&A_1(\alpha)&\dots&A_n(\alpha)\\ &\mathbb O &&&&B_0&\dots&B_m(\alpha)\\ &&&&B_0&B_1(\alpha)&\dots&\\ &&&&&\dots&&\\ &B_0&B_1(\alpha)&\dots&&B_m(\alpha)&\\ B_0&B_1(\alpha)&\dots&&B_m(\alpha)&&\mathbb O \end{array}\right| ={\mathcal X}(\alpha) \ .

Выражение {\mathcal X}(\alpha) — полином по \alpha_{}, причем, по построению, с коэффициентами из того же множества , что и коэффициенты f_{} и g_{}. Для того, чтобы пара x_{}= \alpha, y= \beta была решением системы уравнений необходимо и достаточно, чтобы значение \alpha_{} было корнем полинома {\mathcal X}(x)=0.

Полином {\mathcal X}(x) — результант f_{}(x,y) и g_{}(x,y), рассматриваемых как полиномы по переменной y_{}

{\mathcal X}(x)= {\mathcal R}_y \left(f(x,y),g(x,y) \right) \ ,

— называется элиминантой3) системы уравнений по переменной x_{}. Аналогично определяется и вторая элиминанта системы

{\mathcal Y}(y) = {\mathcal R}_x(f(x,y),g(x,y)) \ .

С помощью элиминанты решение системы из двух уравнений с двумя переменными сводится к решению одного уравнения от одной переменной: {\mathcal X}(x)=0 (или {\mathcal Y}(y)=0). Говорят, что другая переменная исключена. Поэтому и соответствующий раздел алгебры называется теорией исключения.

§

Для простоты, мы не учитывали здесь (и не будем учитывать в последующих рассуждениях) знак (-1)^{n(n-1)/2} в выражениях обеих элиминант.

П

Пример. Решить систему уравнений

\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=4\,x^2-7\,xy+y^2+13\,x-2\,y-3=0 \ ,\\ g(x,y)=9\,x^2-14\,xy+y^2+28\,x-4\,y-5=0 \ . \end{array}\right.

Решение. Разложим полиномы системы по степеням y_{}

\begin{array}{l} f(x,y)=y^2+(-7\,x-2)y+(4\,x^2+13\,x-3) \ ,\\ g(x,y)=y^2+(-14\,x-4)y+(9\,x^2+28\,x-5) \ , \end{array}

и вычислим элиминанту:

{\mathcal X}(x)=\left|\begin{array}{cccc} 1&-7x-2&4x^2+13x-3&0\\ 0&1&-7x-2&4x^2+13x-3\\ 0&1&-14x-4&9x^2+28x-5\\ 1&-14x-4&9x^2+28x-5&0 \end{array}\right| =24(x^4-x^3-4\,x^2+4\,x) \ .

Найдем ее корни: \alpha_1=0,\alpha_2=1,\alpha_3=2,\alpha_4=-2.

Итак, найдены x_{}-компоненты решений системы. Как найти их y_{}-компоненты? Можно построить вторую элиминанту {\mathcal Y}(y), отыскать ее корни, составить всевозможные пары из корней {\mathcal X}(x) и {\mathcal Y}(y), подставить их в f_{}(x,y) и g_{}(x,y) и проверить на равенство нулю. Либо же найденный корень x_{}=\alpha подставить в одно из уравнений: f(\alpha,y)=0, решить его относительно y_{}, и каждую полученную таким образом пару подставить в g(x,y); хотя бы одна из них должна удовлетворить уравнению g(x,y)=0. В решаемом примере любой из этих подходов приведет к правильному ответу.

Ответ. (0,-1); (1,2) ; (2,3) ; (-2,1).

Известно, однако же, что, как правило, корни полинома не являются — даже не то чтобы целыми числами — но даже и выражаемыми через коэффициенты этого полинома в виде «хороших» функций (см. ☞ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ ). Поэтому следует ожидать, что корни элиминанты могут быть найдены разве лишь приближенно. Но тогда предлагаемая в примере схема подбора соответствующей пары становится ущербной: равенство f(\alpha,\beta)=0 следует рассматривать как приближенное и ошибка округления может привести к неправильному заключению.

П

Пример. Решить систему уравнений

\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=3\,x^2+3\,xy+3\,y^2-3\,x-12\,y+10=0 \ ,\\ g(x,y)=x^3+y^3-x^2+xy-5\,y^2-5\,x+7\,y-3=0 \ . \end{array}\right.

Решение. Элиминанта

{\mathcal X}(x)=\left|\begin{array}{ccccc} 3 & 3\,x-12 & 3\,x^2-3\,x+10 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3\,x-12 & 3\,x^2-3\,x+10 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3\,x-12 & 3\,x^2-3\,x+10 \\ 0 & 1 &-5 & x+7 & x^3-x^2-5\,x-3 \\ 1 &-5 & x+7 & x^3-x^2-5\,x-3 & 0 \end{array}\right| =
=-(108\,x^6-54\,x^5-459\,x^4+126\,x^3+558\,x^2+72\,x+1)

имеет корни

-1.4357404546,\ -1.2204153656,\ -0.1184043714,\ -0.0158215507,\ 1.6451908712 \pm 0.3378906924 {\mathbf i},

некоторые из которых близки между собой. Заметим, что при любом корне x= \alpha элиминанты {\mathcal X}(x) полиномы f(\alpha, y) и g(\alpha, y) должны иметь общий корень как полиномы по y. Однако общий корень полиномов (в случае его единственности) может быть найден как рациональная функция от коэффициентов этих полиномов —с помощью субрезультантов. Формула

y=-\left| \begin{array}{ccc} 3 & 3\,x-12 & 0 \\ 0 & 3 & 3\,x^2 -3\,x + 10 \\ 1 & -5 & x^3-x^2-5\,x-3 \end{array} \right| \Bigg/ \left| \begin{array}{ccc} 3 & 3\,x-12 & 3\,x^2 -3\,x + 10 \\ 0 & 3 & 3\,x-12 \\ 1 & -5 & x + 7 \end{array} \right|=
=-(18\,x^3-9\,x^2-24\,x+3)/(-9\,x-3)

для каждого корня элиминанты задает значение y так, что получившаяся пара оказывается решением системы уравнений.

Ответ.

(-1.4357404546, 3.4637885415) ,\ (-1.2204153656, 1.7326988317),\ (-0.1184043714, 2.9392910117),
(-0.0158215507, 1.1818959593) ,
(1.6451908712 \pm 0.3378906924 \, {\mathbf i},\ 0.8411628278 \pm 1.5734509554 \, {\mathbf i} ) \ .

Вывод. Как правило, систему полиномиальных уравнений удается привести к эквивалентному (в смысле множества решений) виду:

{\mathcal X}(x)=0,\ p_0(x)y+p_1(x)=0 \ .

Здесь \{ {\mathcal X}, p_0, p_1 \} — полиномы по x.

§

Развитие этой идеологии когда-нибудь будет выложено ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема Безу

Сколько решений имеет система уравнений f(x,y)=0,\ g(x_{},y)=0 ? — Очевидно, что это число совпадает со степенью элиминанты.

Теорема [Безу]. Пусть выполнены условия предположения . Тогда, как правило,

\deg{\mathcal X}(x)=\deg f(x,y)\cdot\deg g(x,y)=nm .

Доказательство, взятое из [5], приведем для случая n=3_{} и m=2_{}.

\begin{array}{l} f(x,y)=A_0y^3+A_1(x)y^2+A_2(x)y+A_3(x) ,\\ g(x,y)=B_0y^2+B_1(x)y+B_2(x) , \end{array}
{\mathcal X}(x)=\left|\begin{array}{ccccc} A_0&A_1(x)&A_2(x)&A_3(x)&\\ &A_0&A_1(x)&A_2(x)&A_3(x)\\ &&B_0&B_1(x)&B_2(x)\\ &B_0&B_1(x)&B_2(x)&\\ B_0&B_1(x)&B_2(x)&& \end{array}\right|\ .

Здесь

A_0=a_{03},B_0=b_{02};\deg A_j(x) \le j;\ \deg B_j(x) \le j \quad npu \quad j \in \{1,2,3\} \ .

Старший моном {\mathcal X}(x_{}) образуется из старших мономов элементов определителя. Выделим их

\begin{array}{ll} A_0=a_{03};&B_0=b_{02}\ ;\\ A_1(x)=a_{12}x+\ldots;&B_1(x)=b_{11}x+\ldots\ ;\\ A_2(x)=a_{21}x^2+\ldots;&B_2(x)=b_{20}x^2+\ldots\ ;\\ A_3(x)=a_{30}x^3+\ldots& \end{array} \ .

Следовательно,

{\mathcal X}(x)=\left|\begin{array}{ccccc} a_{03}&a_{12}x&a_{21}x^2&a_{30}x^3&\\ &a_{03}&a_{12}x&a_{21}x^2&a_{30}x^3\\ &&b_{02}&b_{11}x&b_{20}x^2\\ &b_{02}&b_{11}x&b_{20}x^2&\\ b_{02}&b_{11}x&b_{20}x^2&& \end{array}\right|+\ldots\ ,

и нам осталось извлечь степень x_{} из первого определителя. Проделаем это с помощью процедуры, которую можно обобщить на случай произвольных полиномов f(x,y) и g(x,y): домножим вторую и четвертую строки на x_{}, третью — на x^{2}:

=\frac{1}{x^4}\left|\begin{array}{ccccc} a_{03}&a_{12}x&a_{21}x^2&a_{30}x^3&\\ &a_{03}x&a_{12}x^2&a_{21}x^3&a_{30}x^4\\ &&b_{02}x^2&b_{11}x^3&b_{20}x^4\\ &b_{02}x&b_{11}x^2&b_{20}x^3&\\ b_{02}&b_{11}x&b_{20}x^2&& \end{array}\right|+\ldots =

Из второго столбца выносим общий делитель его элементов x_{}, из третьего — x^2, из четвертого — x^3, из пятого — x^4:

=\frac{x^{1+2+3+4}}{x^4}\left|\begin{array}{ccccc} a_{03}&a_{12}&a_{21}&a_{30}&\\ &a_{03}&a_{12}&a_{21}&a_{30}\\ &&b_{02}&b_{11}&b_{20}\\ &b_{02}&b_{11}&b_{20}&\\ b_{02}&b_{11}&b_{20}&& \end{array}\right|+\ldots=
!

и обратим внимание, что получившийся определитель имеет вид результанта в форме Сильвестра некоторых полиномов:

=x^6{\mathcal R}(a_{03}y^3+a_{12}y^2+a_{21}y+a_{30},b_{02}y^2+b_{11}y+b_{20})+ \ldots

А для произвольных m_{} и n_{} получим

{\mathcal X}(x)={\mathcal A}_0x^{nm}+{\mathcal A}_1x^{nm-1}+\dots+{\mathcal A}_{nm}

и аналогично

{\mathcal Y}(y)={\mathcal B}_0y^{nm}+{\mathcal B}_1y^{nm-1}+\ldots+{\mathcal B}_{nm}

при

{\mathcal A}_0= {\mathcal R}(f_n(1,y),g_m(1,y)) \ u \ {\mathcal B}_0= {\mathcal R}(f_n(x,1),g_m(x,1)) \ .

?

Доказать, что старшие коэффициенты {\mathcal X}(x) и {\mathcal Y}(y) совпадают с точностью до знака.

Указание. См. свойство 4 ЗДЕСЬ.

§

Итак, мы выяснили смысл выражения «как правило» из формулировки теоремы Безу: если число {\mathcal A}_{0} отлично от нуля. Подчеркнем, что это число зависит только от коэффициентов старших форм в разложениях f(x,y)_{} и g(x,y)_{}.

Поиск мнимого корня полинома

Задача. Для полинома f_{}(z) вычислить все его корни.

Будем предполагать, что полином f_{}(z) степени n_{} имеет вещественные коэффициенты4). Известно, что корни такого полинома либо вещественны, либо мнимы, причем в последнем случае они образуют комлексно-сопряженные пары \alpha_{} \pm \beta \mathbf i при \{\alpha,\beta \} \subset \mathbb R^{}, \beta \ne 0 (см. ☞ЗДЕСЬ ). Для поиска вещественных корней можно применять различные численные методы (Ньютона, Лагранжа и т.п.). Как решить аналогичную задачу для мнимых корней?

Представив переменную в виде z=x_{}+y \mathbf i, сведем уравнение от комплексной переменной к системе уравнений от переменных вещественных:

f(z)=0 \iff f(x+y \mathbf i)=0 \iff \phi(x,y)+ \psi(x,y) \mathbf i =0 \iff \left\{ \begin{array}{l} \phi(x,y)=0, \\ \psi(x,y)=0; \end{array} \right.

здесь \phi(x,y) = \mathfrak R\mathbf e (f_{}(z)), \psi(x,y) = \mathfrak I\mathbf m (f_{}(z)). Таким образом для того, чтобы найти мнимый корень полинома f_{}(z) нам достаточно найти вещественные решения системы алгебраических уравнений с вещественными же коэффициентами. Для решения последней задачи перспективно применить метод исключения переменной, изложенный в предыдущем пункте. Тем самым мы сведем задачу поиска корня полинома к аналогичной задаче, но только корни теперь будут вещественными; такую задачу мы умеем решать.

Теперь оформим изложенную идею аналитически. Для получения представлений полиномов \phi_{}(x,y) и \psi_{}(x,y) воспользуемся формулой Тейлора, разложив f(x_{}+ \mathbf i y) по степеням \mathbf i y_{}:

f(z)=f(x+ \mathbf i y)=f(x)+{f'(x)\over 1!}\mathbf i \,y+{f''(x)\over 2!}(\mathbf i \, y)^2+ \dots+{f^{(n)}(x)\over n!}(\mathbf i \,y)^n=
=\left[ f(x)-{f''(x)\over 2!}y^2+{f^{(4)}(x)\over 4!}y^4-\dots\right]+\mathbf i \,y\left[ {f'(x)\over 1!}-{f'''(x)\over3!}y^2+{f^{(5)}(x)\over 5!}y^4-\dots\right]=
=F_1(x,Y)+\mathbf i \,yF_2(x,Y)

при

Y= -y^2 \ , \left\{ \begin{array}{ccc} F_1(x,Y)&= & \displaystyle{f(x)+{f''(x)\over 2!}Y+{f^{(4)}(x)\over 4!}Y^2+\dots,} \\ \\ F_2(x,Y)&=&\displaystyle{{f'(x)\over 1!}+{f'''(x)\over 3!}Y+{f^{(5)}(x)\over 5!}Y^2+\dots} \end{array} \right.

Полиномы F_{1} и F_{2} имеют вещественные коэффициенты.

Уравнение f_{}(z) =0 порождает две системы уравнений

\left\{ \begin{array}{l} F_1(x,Y)=0, \\ y=0, \end{array} \right. \quad u \quad \left\{ \begin{array}{l} F_1(x,Y)=0, \\ F_2(x,Y)=0. \end{array} \right.

Первая из этих систем отвечает за вещественные корни полинома f_{}(z): все решения этой системы имеют y_{}-компоненту равной 0_{}, а F_1(x,0)\equiv f(x). Вторая система состоит из уравнений четных по переменной y_{}: эта переменная входит в их разложение в виде квадрата Y=-y^2. Если полином f_{}(z) имеет корень \lambda=\alpha + \mathbf i \beta при \{ \alpha,\beta\} \subset \mathbb R и \beta \ne 0, то корнем будет и \overline{\lambda}=\alpha - \mathbf i \beta ввиду вещественности коэффициентов f_{}(z) (см. ☞ЗДЕСЬ ). Но тогда система уравнений

F_1(x,Y)=0, \ F_2(x,Y)=0

должна будет иметь вещественное решение x= \alpha, Y=-\beta^2. Будем искать это решение исключением переменной Y_{}. Cоставим элиминанту системы по переменной x_{}:

\mathcal X(x) = {\mathcal R}_Y(F_1,F_2) \ .
Т

Теорема. \deg \mathcal X_{}=N = n(n-1)/2.

Действительно, по аналогии с доказательством теоремы Безу, можно установить старший член разложения \mathcal X_{} по степеням x_{}:

\mathcal X(x)=\mathcal A_0x^N+\dots \ , \quad npu \ \mathcal A_0=(-1)^K2^Na_0^{n-1}, \ K=\left\lfloor\frac{n}{4} \right\rfloor \ .

Здесь \lfloor \ \rfloor означает целую часть числа, a_{0} — старший коэффициент f_{}(z).

Каждому значению корня полинома \mathcal X(x) соответствует значение Y_{} такое, что образующаяся пара становится решением системы уравнений F_{1}(x,Y)=0, \ F_2(x,Y)=0. Это соответствие организуется с помощью субрезультантов, как было отмечено ☞ ЗДЕСЬ.

Нас интересуют только вещественные решения системы, более того, только те из них, что имеют Y_{}-компоненту отрицательной.

П

Пример. Найти мнимые корни полинома

f(z)=z^6+8\,z^5+17\,z^4+16\,z^3+111\,z^2+186\,z-234 \ .

Решение. Элиминанта

{\mathcal X}(x) = \left| \begin{array}{ccccc} f^{(6)}(x)/6! & f^{(4)}(x)/4! & f''(x)/ 2! & f(x) & \\ & f^{(6)}(x)/6! & f^{(4)}(x)/4! & f''(x)/ 2! & f(x) \\ & & f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! & f'(x) \\ & f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! & f'(x) & \\ f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! & f'(x) & & \end{array} \right|=
=32768\,x^{15}+655360\,x^{14}+5799936\,x^{13}+30015488\,x^{12}+100876288\,x^{11}+230633472\,x^{10}+
+368112640\,x^9+437983232\,x^8+492254208\,x^7+660542464\,x^6+744333056\,x^5+229265856\,x^4-
-794443896\,x^3-1341883872\,x^2-916140960\,x-248036040

имеет вещественные корни \alpha_{1}=1, \, \alpha_2=-7/2, \, \alpha_3=-3/2. Подставляя эти значения в формулу

Y=- \left| \begin{array}{ccccc} f^{(6)}(x)/6! & f^{(4)}(x)/4! & f(x) \\ & f^{(5)}(x)/5! & f'(x) \\ f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! & \\ \end{array} \right| \Bigg/ \left| \begin{array}{ccc} f^{(6)}(x)/6! & f^{(4)}(x)/4! & f''(x)/ 2! \\ & f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! \\ f^{(5)}(x)/5! & f'''(x)/ 3! & f'(x) \end{array} \right|=
=-\frac{96\,x^8+1024\,x^7+4160\,x^6+8640\,x^5+12808\,x^4+20489\,x^3+29973\,x^2+25761\,x+9324}{224\,x^6+1792\,x^5+5664\,x^4+8768\,x^3+6184\,x^2+747\,x-924}

получаем соответствующие значения для Y_{}: Y_{1}=-5,\, Y_2=-3/4,\, Y_3=21/4. Первые два значения отрицательны; по ним восстанавливаем мнимые части корней полинома -\beta^2 = Y_{j}.

Ответ. Мнимые корни полинома: \lambda_{1,2} =1\pm \mathbf i\sqrt{5}, \lambda_{3,4}=-7/2\pm \mathbf i \sqrt{3}/2.

§

Элиминанта \mathcal X(x), построенная в этом пункте, обладает рядом полезных свойств. В частности, справедлива следующая

Т

Теорема [Раус][7,8]. Для устойчивости полинома f(z)\in \mathbb R[z] необходимо и достаточно чтобы

а) все коэффициенты f_{}(z) были одного знака;

б) все коэффициенты \mathcal X(x) были одного знака.

Дифференциальный результант

Известная аналогия задач преобразования алгебраических уравнений и задач преобразования линейных дифференциальных и разностных уравнений позволяет перенести понятие результанта из алгебры в дифференциальные уравнения.

П

Пример. Найти условие, при котором два дифференциальных уравнения

y^{\prime \prime}(x)+a_1(x)y^{ \prime}(x)+a_2(x)y(x)+a_3(x)=0 \quad u \quad y^{\prime \prime}(x)+b_1(x)y^{ \prime}(x)+b_2(x)y(x)+b_3(x)=0

имеют общее решение.

Решение. Воспользуемся аналогом приема из обоснования возникновения результанта. Грубо говоря, для перенесения какого-то результата из теории полиномов на линейные дифференциальные уравнения иногда достаточно формально заменить

x \mapsto \frac{d\, }{d\, x} \ ,

т.е. операцию возведения в степень — на операцию дифференцирования. Предположим, что существует общее решение рассматриваемых уравнений: y=\varphi(x); тогда эта функция должна при подстановке обращать оба уравнения в тождества:

\begin{array}{c} \varphi^{\prime \prime}+a_1\varphi^{\prime}+a_2\varphi+a_3\equiv 0 \ , \\ \varphi^{\prime \prime}+b_1\varphi^{\prime}+b_2\varphi+b_3\equiv 0 \ . \end{array}

Продифференцируем5) каждое из этих тождеств по x_{}:

\begin{array}{c} \varphi^{\prime \prime \prime}+a_1\varphi^{\prime \prime} +(a_1^{\prime} +a_2)\varphi^{\prime}+a_2^{\prime}\varphi + a_3^{\prime}\equiv 0 \ , \\ \varphi^{\prime \prime \prime}+b_1\varphi^{\prime \prime} +(b_1^{\prime} +b_2)\varphi^{\prime}+b_2^{\prime}\varphi + b_3^{\prime}\equiv 0 \ ; \end{array}

и еще один раз:

\begin{array}{c} \varphi^{(4)}+a_1\varphi^{\prime \prime \prime} +(2a_1^{\prime} +a_2)\varphi^{\prime \prime}+ (a_1^{\prime \prime}+2a_2^{\prime})\varphi^{\prime} + a_2^{\prime \prime }\varphi a_3^{\prime \prime}\equiv 0 \ , \\ \varphi^{(4)}+b_1\varphi^{\prime \prime \prime} +(2b_1^{\prime} +b_2)\varphi^{\prime \prime}+ (b_1^{\prime \prime}+2b_2^{\prime})\varphi^{\prime} + b_2^{\prime \prime }\varphi + b_3^{\prime \prime}\equiv 0 \ . \end{array}

Теперь объединяем получившиеся тождества в систему, рассматриваемую относительно столбца неизвестных

\left[\varphi^{(4)}(x),\varphi^{\prime \prime \prime}(x), \varphi^{\prime \prime }(x),\varphi^{\prime}(x), \varphi(x), 1 \right] .

Эта система однородна и имеет нетривиальное решение. Следовательно ( см. ЗДЕСЬ ), определитель ее матрицы равен нулю.

Ответ. Для существования общего решения уравнений необходимо выполнение условия:

\left| \begin{array}{cccccc} 1 & a_1(x) & 2a_1^{\prime}(x) +a_2(x) & a_1^{\prime \prime}(x)+2a_2^{\prime}(x) & a_2^{\prime \prime }(x) & a_3^{\prime \prime}(x) \\ 0 & 1 & a_1(x) & a_1^{\prime}(x) +a_2(x) & a_2^{\prime}(x) & a_3^{\prime }(x) \\ 0 & 0 & 1 & a_1(x) & a_2(x) & a_3(x) \\ 0 & 0 & 1 & b_1(x) & b_2(x) & b_3(x) \\ 0 & 1 & b_1(x) & b_1^{\prime}(x) +b_2(x) & b_2^{\prime}(x) & b_3^{\prime }(x) \\ 1 & b_1(x) & 2b_1^{\prime}(x) +b_2(x) & b_1^{\prime \prime}(x)+2b_2^{\prime}(x) & b_2^{\prime \prime }(x) & b_3^{\prime \prime}(x) \end{array} \right| \equiv 0 .

Определитель, стоящий в левой части тождества, называется дифференциальным результантом.

?

Найти общее решение дифференциальных уравнений

x^2y''+xy'-(x^2+1/4)y=0,\ y'-y-ax^{-3/2}e^{x}=0 .

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[2]. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.Наука.1979. с.34

[3]. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichungen. Werke. Bd. 2. 1897. 113-192, Teubner, Leipzig

[4]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988. с.477–478

[5]. Brill A. Vorlesungen über ebene algebraischen Kurven und algebraische Funktionen. Braunschweig. Vieweg. 1925

[6]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

[7]. Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Часть II. Учеб. пособие. СПб. «СОЛО». 2007.

[8]. Kalinina E.A., Uteshev A.Yu. Determination of the Number of Roots of a Polynominal Lying in a Given Algebraic Domain. Linear Algebra Appl. 1993. V.185, P.61-81.

1) Resultant (лат.) — отражающий; термин введен Лапласом в 1776 г.
2) В обоих случаях — с учетом их кратностей.
3) Характерно для старинных учебников, в современных публикациях используется редко.
4) Это предположение не очень существенно для дальнейших рассуждений, но упростит понимание идеи подхода
5) В дополнительном предположении, что свойства коэффициентов уравнений обеспечивают выполнимость всех последующих операций.

2013/12/07 11:17 редактировал au